На сторонах четырехугольника abcd взяты точки k,l,m,n так, что четырехугольник klmn - параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям ac и bd. Найдите отношения площади klmn к площади abcd, если ac:bd=2:3, kl:lm=4:5. Ответ не 1/2!
См. рис. в приложении. Обозначим α - угол между диагоналями АС и BD, по свойствам параллелограмма ∠NKL=∠NML=α. Пусть КL=4x, LM=5x, тогда KL : LM = 4 : 5; АС=2у, BD=3y, тогда AС: BD= 2 : 3. Δ CML подобен Δ CBD ( LM ║ BD). Из подобия СL : CB = LM : BD = 5x : 3y ⇒ (СB-LB) : CB= 5x : 3y⇒ LB : CB=1-(5x/3y) Δ BKL подобен Δ АВС ( KL ║ AC). Из подобия BK: BA= КL : AC = 4x : 2у = 2х : у и BK: BA= BL: BC 2x/y=1-(5x/3y) x : y=3:11. S( KLMN) : S ( ABCD)=(KL·LM·sinα) : (AC·BD·sinα/2)= =(4x·5x·sinα) : (2y·3y·sinα/2)=20x² : 3y²=(10/3)·(x/y)²=(20/3)·9/121=60/121 О т в е т. 60 : 121.