Коля задумал 10 целых чисел (не обязательно различных), а затем вычислил все возможные...

Question

Коля задумал 10 целых чисел (не обязательно различных), а затем вычислил все возможные суммы любых девяти чисел из этих десяти. У Коли получились числа 92, 93, …, 100 (повторяющиеся суммы Коля назвал только один раз). Какие числа он задумал? В ответ укажите сумму всех чисел.
СРОЧНО! 25 баллов!

Answer 1

Всего сумм 9-ти чисел из 10-ти можно составить 10. Пусть числа, из которых составляются суммы, равны a1,a2,...,a10. Обозначим S=a1+a2+...+a10 - сумма всех 10 чисел.
Выпишем все суммы 9 чисел и сложим их:
a2+a3+a4+...+a10+
a1+a3+a4+...+a10+
....
a1+a2+a3+...+a9=
10(a1+a2+a3+...+a10) - (a1+a2+...+a10)=10S-S=9S - сумма этих 10-ти сумм кратна 9. Найдем сумму 9-ти известных сумм:
92+...100 = (92+100)*9/2=96*9 - кратно 9.
Это значит, что 10-я сумма тоже кратна 9. Так как она содержится среди чисел 92...100, то это число 99 - единственное кратное 9 из перечисленных. 96*9+99=9*(96+11)=9*107=9S. Отсюда S=107.
А сами числа таковы: 15,14,13,12,11,10,9,8,8,7.
Ответ: 107.