Решите уравнение 13x+2y=1

Это диофантово уравнение.
Во первых найдем НОД, если единица делится на НОД двух коэффициентов то есть решения в целых числах.
$\gcd(13,2)=1$ - Понятное дело что НОД двух простых чисел равен 1.
Один делится на один, следовательно, есть решения.

Найдем их следующим методом:
1.
Отыщем первую пару: $(x_0,y_0)$
2.
Потом воспользуемся этой формулой:
${\begin{cases}x=x_{0}+n{\frac {b}{\gcd(a,\;b)}}\\y=y_{0}-n{\frac {a}{\gcd(a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .$

1.
$x_0=1 \Rightarrow y_0=(-6)$
Это и есть первая пара решения:
$(x_0,y_0)$

2.
Теперь по формуле находим все решения:
${\begin{cases}x=1+2n}\\y=(-6)-13n}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .$