К прямой A проведены наклонные AB=17 см и AC=10 см и перпендикуляр AD=8 см .найдите длину...

Из прямоугольного треугольника ADB по т. Пифагора:
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{9*25}=15$ .

Из прямоугольного треугольника ADC по т. Пифагора:
$DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{2*18}=6$ .

BC = BD + DC = 15 + 6 = 21 или же BC = BD - CD = 15 - 6 = 9 (в зависимости от построения: либо точки B и C по разные стороны от D, либо по одну сторону).