Доказать, что если сумма двух величин постоянна, то их произведение максимально тогда и...

Question

Доказать, что если сумма двух величин постоянна, то их произведение максимально тогда и только тогда когда эти величины принимают равные значения.( Это утверждение является обобщением теоремы о постоянной сумме на случай любых, а не только положительных)

Answer 1

Пусть заданы две переменные величины x и y, связанные зависимостью x+y=a, где a - некоторое постоянное число. Тогда произведение этих чисел равно x*y=x*(a-x). Рассмотрим функцию f(x)=x*(a-x). Найдем x, при котором эта функция принимает максимальное значение.
f(x)=a*x-x²
f'(x)=a-2x
Нули производной: a-2x=0 => x=a/2.
При x < a/2: f'(x) > 0 => функция возрастает
При x > a/2: f'(x) < 0 => функция убывает
Следовательно, точка x=a/2 - точка максимума функции f(x).
Соответственно, при x=a/2 y = a-a/2=a/2. Отсюда следует, что максимум произведения x*y достигается при x=y=a/2.

Comments

спасибо))