Помогите решить уравнение: x в степени восемь +1=0

Интересная задачка. Давай попробуем.
$x^{8} + 1 = 0 \\ x^8 = -1.$
Запишем это ещё нагляднее:
$({x^4})^2 = -1.$
Известно, что квадрат всегда положителен, если речь идёт о вещественных числах. Поэтому вещественных решений нет.

Однако, есть ещё такая штука как комплексные числа, которые допускают отрицательность квадрата (там есть число $i : i^2 = -1$ ). Таким образом, имеем, извлекая корень:
$x = \sqrt[8]{-1}.$
На самом деле, это восемь различных комплексных чисел, лежат они на окружности, равноудалённо друг от друга. Записать их можно как
$x_k = \cos(\frac{2\pi k}{8}) + i \sin(\frac{2\pi k}{8}).$

Ответ: вещественных решений нет, комплексные написаны строчкой выше.