Взлететь на авгиевы конюшни - это обширные конюшни царя Элиды Авгия, которые в течение многих лет не убирались. Очищены они были в один день героем Гераклом, который направил через конюшни реку, чьи воды унесли весь навоз.
Кануть в лету - исчезнуть из памяти, быть поглощенным вечным забвением.
Пальма первенства - означает выход на первое место, бесспорное преимущество или приоритет.