найти площадь фигуры ограниченной линиями y= 6x^2-12x+9, y=9, y=6x+9

Построим все графики. Будет видно, что график функции 6x + 9 не имеет отношения к площади фигуры, которую надо найти, т.к не проходит через саму фигуру. Прямая y = 9 ограничевает параболу на промежутке [0;2] - пределы интегрирования. Теперь можно приступить к решению.

$\int\limits^2_0 {9 - (6x^2 - 12x + 9)} \, dx = \int\limits^2_0 {9 - 6x^2 + 12x - 9} \, dx = \int\limits^2_0 {-6x^2 + 12x} \, dx = \int\limits^2_0 {12x - 6x^2} \, dx = \frac{12x^2}{2} - \frac{6x^3}{3} = 6x^2 - 2x^3 = 6 * 2^2 - 2 * 2^3 = 6 * 4 - 2 * 8 = 24 - 16 = 8$ ед^2