В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С = 90, АВ= 13,АС=СВ-7 ) проведена биссектриса...

Question

В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С = 90, АВ= 13,АС=СВ-7 ) проведена биссектриса СК. Найдите катеты треугольника АВС и радиус окружности,описанной около треугольника СКВ.?

Comments

там муторно вычислять, мне не хочется. А решать так - СВ прими за х, АС будет х-7, сост. ур-ие по т. Пифагора, находишь х , оно будет =12 Другой катет будет =5 Потом ВК обозначаешь как у, АК как (13-у). Т.к. СК биссектриса, то АК/АС=ВК/ВС. найдешь у. Из треуг. СКБ (у него угол ВСК=45) по теор. косинусов можно найти СК. Теперь известны все стороны СКВ. По известной формуле находим радиус.

---

но сейчас гляну, хочется найти более проще и изящнее решение. То приходит сразу, "прямо в лоб", а вот другое....

---

вроде нашел способ изящнее, но нужно перепроверить. Вечером дома гляну- если что- выкладу полное решение

Answer 1

Итак, поехали.
см. рисунок. Там сделали допостроения и обозначения.
СВ=х
АС=х-7
по т. Пифагора  (х-7)²+х²=13²
отсюда х=12 (отрицательное значение ж не подходит)
х-7=5
Катеты будут 5 и 12.Напишем их зеленым на рисунке, чтоб удобнее было.
А теперь самое интересное.
Центр опис.окр. лежит на серединных перпендикулярах. Что и обозначено. Т.е. СМ=12/2=6
Дальше, ∠СОК - центральный для ∠СВК, значит он = 2α, тогда угол СОН в 2 раза меньше ( треугольник СОК равнобедр. с высотой ОН) и равен α. Обозначим зеленым.
Тогда ∠ОСМ=90-α-45=45-α
теперь из Δ ОСМ имеем  R=CM/cos(45-α)
R=6/cos(45-α)
подставляя формулу косинуса разности получаем
cos(45-α)=cos45cosα+sin45sinα=√2/2(cosα+sinα)

но из первоначального треугольника, когда нашли его катеты, имеем
cosα=12/13
sinα=5/13
a  cosα+sinα=12/13+5/13=17/13
cos(45-α)=17√2/26

и R=6/(17√2/26)=78√2/17

вроде так.

---

Comments

Здорово, но не для меня. Можно сослаться на Ваше решение, пусть ребенок разбирается? Эта задача не на 5 баллов, а другие я редко берусь решать в геометрии))) Для Наблюдателя100.

---

для Наблюдателя100. Мне кажется, что надо написать, что углы НОМ и КСВ - углы с соответственно перпенд. сторонами, не знаю как сейчас, но раньше в программе их не было, а мне в механике для наклонной плоскости были нужны, так приходилось самой объяснять))))

---

та не нужно и писать, что у них перпенд. стороны, там угол находится из прямоуг. треугольника. Так легче для понимания. А на решение не можно, а НУЖНО ссылаться. Задача, естественно, не на 5 баллов, но я решаю не за баллы, а просто. Даже сам выставлял задачки дла решения, давал под 100 баллов. Никто не решил....

---

Нормальные люди не решают за баллы, и Главный мозг не говорит о глубоких знаниях. Могут быть, а может и нет; я делала поправки им, это в основном взрослые люди и реагируют нормально, соглашаются, редактируют, а школьники замечаний в основном не жалуют. Всех благ Вам!!!!)))))