Сначала разберем, чему равна наибольшая степень двойки, на которую делится число n!
n!=1*2*3*4*5*6*7*...*n
Очевидно, что каждый второй множитель делится на 2. Тогда соберем с каждого второго множителя по двойке и получим, что n! делится на 2^[n/2], так как количество чисел на каждом втором месте равно [n/2].
Теперь, так как мы поделили каждое число, стоящее на четном месте, на 2, среди них теперь делятся на 2 только числа, стоящие на каждом 4-м месте.
То есть был ряд 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16...
Поделили каждое второе на 2:
1 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 13 7 15 8...
Оказалось, что делятся на 2 теперь только числа, стоящие на каждом 4-м месте, то есть 2 4 6 8...
Чисел, которые стоят на каждом 4-м месте, ровно [n/4]. Значит, общий результат можно умножить на 2^[n/4] и получить 2^[n/2]*2^[n/4]=2^([n/2]+[n/4])
Теперь разделим в новом ряду каждое 4-е число на 2. После этого окажется, что на 2 теперь делится лишь каждое 8-е.
В итоге дойдем до того, что среди множителей не останется вообще тех, которые делятся на 2. И получим, что суммарная степень двойки равна [n/2]+[n/4]+[n/8]+[n/16]+....[n/2^m], где 2^m≤n<2^(m+1)<br>Дальше делается оценка верхней границы этой суммы.
Так как [n/2^a]≤n/2^a (целая часть от деления не превосходит частное от деления), то справедливо соотношение:
[n/2]+[n/4]+[n/8]+[n/16]+......≤n/2+n/4+n/8+n/16+...
Слева стоит сумма, которая ограничена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. То есть сумма справа является частью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а поэтому ограничена ей сверху.
n*(1/2+1/4+1/8+...)=n*(1/2)/(1-1/2)=n - предельное значение.
Поэтому справедливо такое соотношение:
[n/2]+[n/4]+[n/8]+[n/16]+......≤n/2+n/4+n/8+n/16+...Поскольку выражение [n/2]+[n/4]+[n/8]+[n/16]+...... целое, то наибольшим его значением может быть n-1.
Таким образом, наибольшей степенью двойки, на которую делится число n!, является 2^(n-1).
По условию, 2^(n-1)=2^(n+k+2). Отсюда находим k: k=(n-1)-(n+2)=-3