Преобразуем матрицу
![\left[\begin{array}{ccccc}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D2%261%261%261%261%5C%5C1%263%261%261%261%5C%5C1%261%264%261%261%5C%5C1%261%261%265%261%5C%5C1%261%261%261%266%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "\left[\begin{array}{ccccc}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{array}\right]")
к верхнетреугольному виду (нули ниже главной диагонали). Тогда определитель такой матрицы будет равен произведению элементов главной диагонали.
Переставим местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы получить 
(для упрощения подсчёта в дальнейшем). По правилам перестановки определитель сменит знак.
![det=-\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\\2&1&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D-%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%263%261%261%261%5C%5C2%261%261%261%261%5C%5C1%261%264%261%261%5C%5C1%261%261%265%261%5C%5C1%261%261%261%266%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "det=-\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\\2&1&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{array}\right]")
Занулим элементы первого столбца, начиная с a2,1 (чтобы сделать нули ниже диагонали). Для этого будем поочерёдно складывать строки 2, 3, 4, 5 с первой, домножая её на необходимый коэффициент для зануления первого элемента столбца. Результат сложения будем помещать на место соответствующей строки, так как по правилам определитель не изменяется, если к строке/столбцу прибавить др. строку/столбец, домноженные на некоторое число:
2-я строка = 2-я строка + 1-я строка * (-2).
3-я строка = 3-я строка + 1-я строка * (-1).
4-я строка = 4-я строка + 1-я строка * (-1).
5-я строка = 5-я строка + 1-я строка * (-1).
В результате получим:
![det=-\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\\0&-5&-1&-1&-1\\0&-2&3&0&0\\0&-2&0&4&0\\0&-2&0&0&5\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D-%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%263%261%261%261%5C%5C0%26-5%26-1%26-1%26-1%5C%5C0%26-2%263%260%260%5C%5C0%26-2%260%264%260%5C%5C0%26-2%260%260%265%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "det=-\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&1&1\\0&-5&-1&-1&-1\\0&-2&3&0&0\\0&-2&0&4&0\\0&-2&0&0&5\end{array}\right]")
Переставим местами 2-й и 5-й столбцы, чтобы упростить подсчёты (можно этого и не далать, высчитывая и так). По правилам перестановки определитель сменит знак.
![det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&5&0&0&-2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%261%263%5C%5C0%26-1%26-1%26-1%26-5%5C%5C0%260%263%260%26-2%5C%5C0%260%260%264%26-2%5C%5C0%265%260%260%26-2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&5&0&0&-2\end{array}\right]")
Аналогично занулим второй столбец ниже главной диагонали (начиная с а3,2). Так как в строках 3 и 4 уже нули, то займёмся 5-й строкой:
5-я строка = 5-я строка + 2-я строка * 5.
В результате получим:
![det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&-5&-5&-27\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%261%263%5C%5C0%26-1%26-1%26-1%26-5%5C%5C0%260%263%260%26-2%5C%5C0%260%260%264%26-2%5C%5C0%260%26-5%26-5%26-27%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&-5&-5&-27\end{array}\right]")
Аналогично занулим 3-й столбец ниже главной диагонали:
5-я строка = 5-я строка + 3-я строка * 5/3.
В результате получим:
![det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&0&-5&-91/3\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%261%263%5C%5C0%26-1%26-1%26-1%26-5%5C%5C0%260%263%260%26-2%5C%5C0%260%260%264%26-2%5C%5C0%260%260%26-5%26-91%2F3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&0&-5&-91/3\end{array}\right]")
Занулим последний элемент в 4-м столбце.
5-я строка = 5-я строка + 4-я строка * 5/4.
В результате получим:
![det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&0&0&-197/6\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=det%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%261%263%5C%5C0%26-1%26-1%26-1%26-5%5C%5C0%260%263%260%26-2%5C%5C0%260%260%264%26-2%5C%5C0%260%260%260%26-197%2F6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "det=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&3\\0&-1&-1&-1&-5\\0&0&3&0&-2\\0&0&0&4&-2\\0&0&0&0&-197/6\end{array}\right]")
Верхнетреугольный вид получен. Считаем определитель:
det=1*(-1)*3*4*(-197/6)=394.