Решите какие сможете, если не трудно распишите решения (чтобы вникнуть)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Я так понял что под подстановкой имеется ввиду замену переменной.

Дано:

$\displaystyle \int\limits {\cos(6x+1)} \, dx$

Мы знаем что :

$\displaystyle \int\limits {\cos x } \, dx =\sin x +C$

Заменим переменную:

$t=6x+1$

Теперь наша задача избавиться от dx, выразив его через dt:

$dt=d(6x+1)=(6x+1)'dx=6dx$

Теперь по правилам пропорции, получаем:

$\displaystyle dx= \frac{dt}{6}$

В итоге получаем:

$\displaystyle \int\limits {\cos t} \, \frac{dt}{6}= \frac{1}{6} \int\limits {\cos t} \, dt= \frac{1}{6}\sin t+C$

Вспоминая чему равно t получаем:

$\displaystyle\int\limits {\cos (6x+1)} \, dx =\frac{1}{6}\sin (6x+1)+C$

2.
Дано:

$\displaystyle \int\limits { \frac{ \sqrt{\tan x} dx}{\cos^2x} } \,$

Замена:

$t=\tan x$

$\displaystyle dt=d(\tan x)=(\tan x)'dx= \frac{dx}{\cos^2x}$

Решаем интеграл:

$\displaystyle \int\limits\ {t^{1/2}} \, dt= \frac{t^{ \frac{1}{2}+1 }}{ \frac{1}{2}+1} +C= \frac{ \sqrt[2]{t^3} }{ \frac{3}{2} } +C= \frac{2 \sqrt[2]{t^3} }{3} +C$

Вспоминая чему равно t, получаем:

$\displaystyle \int\limits { \frac{ \sqrt{\tan x} dx}{\cos^2x} } \, =\frac{2 \sqrt[2]{\tan^3 x} }{3} +C$

3.
Дано:

$\displaystyle \int\limits { \frac{x^5}{ \sqrt{x^6+7} } } \, dx$

Замена:

$t= \sqrt{x^6+7}$

$dt=d( \sqrt{x^6+7})'= \frac{3x^5dx}{ \sqrt{x^6+7} }$

$x^5dx= \frac{\sqrt{x^6+7}dt}{3}$

Решаем интеграл:

$\displaystyle \int\limits { \frac{t/3}{t} } \, dt= \int\limits { \frac{t}{3t} } \, dt = \int\limits { \frac{1}{3} } \, dt = \frac{t}{3}+C$

Вспоминая что такое t, получаем:

$\displaystyle \int\limits { \frac{x^5}{ \sqrt{x^6+7} } } \, dx = \frac {\sqrt{x^6+7} }{3} +C$

Newtion_zn (46.3k баллов) 29 Апр, 18