Помогите решить!!!(( Срочно !( Найдите значение параметра м, при котором сумма квадратов...

Question

Дано ответов: 2

artalex74_zn · Answer 1 · 2018-04-29T13:53:38+0000

X²+(m-1)x+m²=0
Речь идет о существовании действительных корней, поэтому условие их существования - это D≥0
D=(m-1)²-4m² = m²-2m+1-4m²=-3m²-2m+1
-3m²-2m+1≥0
(3m-1)(m+1)≤0
m∈[-1; 1/3]
По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
$\left \{ {{x_1+x_2=1-m} \atop {x_1x_2=m^2}} \right.$
где $x_1,\ x_2$ - корни уравнения.
Рассмотрим равенство $(x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2$
Из него $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(1-m)^2-2m^2=1-2m-m^2$
Рассмотрим функцию f(m)=1-2m-m², m∈[-1; 1/3]
f'(m)=-2-2m
f'(m)=0 при m=-1 - стационарная точка из отрезка [-1; 1/3]
f(-1)=1+2-1=2
$f( \frac{1}{3} )=1-\frac{2}{3} -\frac{1}{9} =\frac{2}{9}$
Итак, сумма квадратов действительных корней будет наименьшей при m=1/3

iknowthatyoufeelbro_zn · Answer 2 · 2018-04-29T13:53:38+0000

Сначала определим, при каких m корни будут действительными. Для этого ищем дискриминант и ставим условие, что он неотрицателен.
D=(m-1)²-4m²=-3m²-2m+1=-(3m-1)(m+1)>=0
Отсюда m∈[-1;1/3]
Далее выразим сумму квадратов корней уравнения, используя теорему Виета.
x1+x2=1-m,
x1*x2=m²,
x1²+x2²=(x1+x2)²-2*x1*x2=(1-m)²-2m²=-m²-2m+1=f(m)
Рассмотрим функцию f(m):
f'(m)=-2m-2.
Имеет один нуль производной в точке m=-1.
При m∈(-∞;-1) производная положительная, следовательно, функция возрастает.
При m∈(-1;+∞) производная отрицательная, следовательно, функция убывает.
По условию, надо найти наименьшее значение функции. С учетом поставленных ограничений на действительность корней, ищем минимум функции на отрезке m∈[-1;1/3]. Он достигается в точке m=1/3.
f(1/3)=-(1/3)²-2*(1/3)+1=2/9.