Задача 5. Сколько решений имеет уравнение sin x = 10x

Question

Задача 5. Сколько решений имеет уравнение sin x = 10x

Comments

Сначала можно найти очевидный корень x=0. Дальше рассмотрим функцию y(x)=sin(x)-10x. Ее производная равна y'(x)=cos(x)-10, которая постоянно меньше 0. Это значит, что функция постоянно убывает и пересекает прямую y=0 лишь единожды. Это значит, что решение x=0 единственное.

---

sinx=10^x

---

Ну, тогда бесконечно много решений, поскольку при x->-inf функция y(x)=10^x стремится к 0 асимптотически и пересекает график функции y(x)=sin(x) в бесконечном множестве точек.....Это понятно будет, если нарисовать график.

Answer 1

Одним из решений, очевидно, является x=0. Так как /sin x/≤1, то решения могут существовать лишь на интервале [-0,1;0,1]. Производные функций sin(x) и 10*x соответственно равны cos(x) и 10, на интервале [-0,1;0,1] обе производные положительны и обе функции возрастают. Однако так как cos(x)<10, то на интервале [0;1] функция sin(x) возрастает медленнее, чем  функция 10*x. Поэтому на этом интервале 10*x>sin(x), так что других решений, кроме x=0, на этом интервале нет. А так как обе функции - нечётные, то нет их и на интервале [-0,1;0). Ответ: 1 решение.  

Answer 2

Только одно х=0. Так как у=10х - прямая, проходящая через начало координат, а синусоида тоже проходит через начало координат. Синусоида колеблется вокруг оси ох, а прямая уходит довольно круто в плюс и минус бесконечность. Так что общих точек больше не будет.

Ответ: х=0 - единственное решение.

Comments

10 в степени х

---

???