В треугольнике АВС АВ=3, ВС=5. BM - медиана, BK - биссектриса. Прямая ВТ симметрична BM...

Чертеж - во вложении.
ВМ - медиана Δ АВС ⇒ АМ=СМ.
ВК - биссектриса Δ АВС ⇒ АК:КС=3:5.
Прямая ВТ симметрична BM относительно BK ⇒ КТ=МТ.
Пусть КТ=МТ=х, АТ=у, тогда МС=АМ=2х+у
$\frac{AK}{KC} = \frac{x+y}{3x+y} = \frac{3}{5}$
5x+5y=9x+3y
2y=4x
y=2x ⇒ T - середина АМ ⇒ AT=TM=2x, MC=2x+2x=4x.
⇒ TC =TM+MC = 2x+4x=6x
$\frac{AT}{TC} = \frac{2x}{6x}= \frac{1}{3}$
Ответ: 1:3.