Используя свойства монотонности функций, решите три уравнения

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1) Сделаем замену $x^2=t\geqslant0$ . После ней уравнение примет вид $\sqrt{t+5}+\sqrt{2t-1}=6$
Функция, стоящая в левой части, монотонно возрастает как сумма двух монотонно возрастающих функций, поэтому она принимает каждое своё значение только один раз, и у уравнения (относительно t) может быть не более одного корня. Подбором находим t = 4.
$x^2=4$
Ответ. $\boxed{x=\pm2}$

2) Домножим всё на x, перенесём в одну часть:
$x^4-5x-6=0$
Рассматриваем производную функции, стоящей в левой части:
$(x^4-5x-6)'=4x^3-5$
Производная отрицательна при $x<\sqrt[3]{5/4}$ , положительна при \sqrt[3]{5/4}" alt="x>\sqrt[3]{5/4}" align="absmiddle" class="latex-formula">, поэтому функция на этих промежутках монотонно убывает и возрастает соответственно, и на каждом из этих промежутков может быть не более одного корня уравнения. Подбором находим x = -1, x = 2; других корней быть не может.
Ответ. x = -1, x = 2

3) Для того, чтобы корень существовал, требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно, а при таких x знаменатель строго положителен. При $x \geqslant -3$ функция, стоящая в левой части, монотонно убывает, значит, у уравнения есть не более одного корень. Корень опять можно угадать, это x = 1.
Ответ. x = 1.

nelle987_zn (148k баллов) 29 Апр, 18