Помогите, пожалуйста, решить все эти неравенства, желательно с кратким объяснением и как...

Question

Дан 1 ответ

m11m_zn · Answer 1 · 2018-04-29T12:11:04+0000

1)
ОДЗ: х≠0

$x+ \frac{3}{x}+4 \leq 0 \\ \\ \frac{x^2+4x+3}{x} \leq 0$

Раскладываем на множители:
x²+4x+3=0
D=4² -4*3=16-12=4
x₁=(-4-2)/2= -3
x₂=(-4+2)/2= -1

x² +4x+3=(x+3)(x+1)

$\frac{(x+3)(x+1)}{x} \leq 0$

Используем метод интервалов:
x(x+3)(x+1)≤0
x=0 x+3=0 x+1=0
x= -3 x= -1
- + - +
---------- -3 ----------- -1 ------------- 0 -------------
\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\

x= -4 - - - | -
x= -2 - + - | +
x= -0.5 - + + | -
x= 1 + + + | +

С учетом ОДЗ x∈(-∞; -3]U[-1; 0)
Ответ: (-∞; -3]U[-1; 0).

2)
ОДЗ: x≠0
$x- \frac{8}{x}-2\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{x^2-2x-8}{x}\ \textgreater \ 0$

Разложим на множители:
x²-2x-8=0
D=(-2)² -4*(-8)=4+32=36=6²
x₁=(2-6)/2= -2
x₂=(2+6)/2=4

x²-2x-8=(x+2)(x-4)

$\frac{(x+2)(x-4)}{x}\ \textgreater \ 0$

Метод интервалов:
x(x+2)(x-4)>0
x=0 x= -2 x=4
- + - +
---------- -2 ----------- 0 ------------ 4 -------------
\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\
x= -3 - - - | -
x= -1 - + - | +
x= 1 + + - | -
x= 5 + + + | +

С учетом ОДЗ: x∈(-2; 0)U(4; +∞)
Ответ: (-2; 0)U(4; +∞).

3) x²(x+3)>0

Метод интервалов:
x=0 x= -3
- + +
----------- -3 ------------- 0 -------------
\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\

x= -4 + - | -
x= -1 + + | +
x= 1 + + | +

x∈(-3; 0)U(0; +∞)
Ответ: (-3; 0)U(0; +∞).

4)
(x-1)²(x-5)≤0

Метод интервалов:
x=1 x=5
- - +
--------- 1 ---------- 5 -------------
\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\

x=0 + - | -
x=2 + - | -
x=6 + + | +

x∈(-∞; -5]
Ответ: (-∞; -5].

5)
(x+3)²(x²-10x+21)≥0

Разложим на множители:
x²-10x+21=0
D=(-10)² -4*21=100-84=16=4²
x₁=(10-4)/2=3
x₂=(10+4)/2=7
x²-10+21=(x-3)(x-7)

Метод интервалов:
(x+3)²(x-3)(x-7)≥0
x= -3 x=3 x=7
+ + - +
--------- -3 ---------- 3 ---------- 7 -----------
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\

x= -4 + - - | +
x= 0 + - - | +
x= 4 + + - | -
x= 8 + + + | +

x∈(-∞;3]U[7; +∞)
Ответ: (-∞; 3]U[7; +∞)

6)
(x-1)(x²-7x+6)≥0

Разложим на множители:
x²-7x+6=0
D=(-7)²-4*6=49-24=25=5²
x₁=(7-5)/2=1
x₂=(7+5)/2=6
x²-7x+6=(x-1)(x-6)

Метод интервалов:
(x-1)(x-1)(x-6)≥0
(x-1)²(x-6)≥0
x=1 x=6
- - +
--------- 1 ----------- 6 -----------
\\\\\\\\\\\\\\\

x=0 + - | -
x=2 + - | -
x=7 + + | +

x∈{1}U[6; +∞)
Ответ: {1}U[6; +∞)

7)
(x²-6x+9)(6-5x-x²)>0
-(x²-6x+9)(x²+5x-6)>0
(x²-6x+9)(x²+5x-6)<0<br>
Разложим на множители:
а) x² -6x+9=(x-3)²
b) x²+5x-6=0
D=5² -4*(-6)=25+24=49=7²
x₁=(-5-7)/2= -6
x₂=(-5+7)/2=1
x²+5x-6=(x+6)(x-1)

Метод интервалов:
(x-3)²(x+6)(x-1)<0<br>x=3 x= -6 x=1
+ - + +
------------ -6 ------------ 1 --------------- 3 ------------
\\\\\\\\\\\\\\\

x= -7 + - - | +
x= 0 + + - | -
x= 2 + + + | +
x= 4 + + + | +

x∈(-6; 1)
Ответ: (-6; 1).

8)
(x-4)³(7x-x²-10)≤0
-(x-4)³(x²-7x+10)≤0
(x-4)³(x²-7x+10)≥0

Разложим на множители:
x² -7x+10=0
D=(-7)² -4*10=49-40=9=3²
x₁=(7-3)/2=2
x₂=(7+3)/2=5
x²-7x+10=(x-2)(x-5)

Метод интервалов:
(x-4)³(x-2)(x-5)≥0
x=4 x=2 x=5
- + - +
--------- 2 ----------- 4 ----------- 5 -------------
\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\
x=0 - - - | -
x=3 - + - | +
x=4.5 + + - | -
x=6 + + + | +

x∈[2; 4]U[5; +∞)
Ответ: [2; 4]U[5; +∞).