Cosxcos2x=sinxsin4x $$$$$$

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\cos x\cos 2x=\sin x\sin4x$
Переносим все в одну часть уравнения:
$\sin4x\sin x-\cos 2x\cos x=0$
Применяем формулу синуса двойного угла для sin4x:
$2\sin2x\cos2x\cdot\sin x-\cos 2x\cos x=0$
Выносим за скобки общий множитель:
$\cos2x(2\sin2x\sin x-\cos x)=0$
Получаем совокупность:
$\left[\begin{array}{l} \cos2x=0 \\ 2\sin2x\sin x-\cos x=0 \end{array}$
Решаем первое уравнение:
$\cos2x=0 \\\ 2x= \frac{ \pi }{2} + \pi k \\\ \boxed{x_1= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi k}{2} , \ k\in Z}$
Решаем второе уравнение:
$2\sin2x\sin x-\cos x=0$
Для sin2x еще раз применяем формулу синуса двойного угла:
$2\cdot2\sin x\cos x \cdot\sin x-\cos x=0$
Упрощаем:
$4\sin ^2x\cos x-\cos x=0$
Выносим за скобки общий множитель:
$\cos x(4\sin ^2x-1)=0$
Получаем еще одну совокупность:
$\left[\begin{array}{l} \cos x=0 \\4\sin ^2x-1=0 \end{array}$
Решаем первое уравнение:
$\cos x=0 \\\ \boxed{x_2= \frac{ \pi }{2} + \pi m, \ m\in Z}$
Решаем второе уравнение:
$4\sin ^2x-1=0 \\\ \sin ^2x= \frac{1}{4} \\\ \sin x=\pm\frac{1}{2} \\\ \boxed{x_3=\pm \frac{ \pi }{6} + \pi n, \ n\in Z}$
Ответ: $\frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi k}{2}$ ; $\frac{ \pi }{2} + \pi m$ ; $\pm \frac{ \pi }{6} + \pi n$ , где k, m, n - целые числа

Artem112_zn (271k баллов) 29 Апр, 18