В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90 градусов, медиана AM пересекает биссектрису...

Question

В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90 градусов, медиана AM
пересекает биссектрису BD в точке O, при этом BO = 3, OD = 2.
Найти квадрат гипотенузы AB.

Answer 1

S(CDO)=x, S(AOD)=2y, S(AOB)=3y в силу того, что отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению оснований.
Т.к. AM- медиана, то S(AOC)=S(AOB), т.е. x+2y=3y. Значит х=y, откуда cos∠B=BC/AB=DC/AD=x/2y=1/2, т.е. ∠B=60°. Значит ∠CBD=30°, т.е. CD=BD/2=5/2, AC=3CD=15/2, AB=(15/2)/((√3)/2)=5√3, AB²=75.