К боковым сторонам равнобедренного треугольника проведены медианы, длины которых равны 6....

Question

К боковым сторонам равнобедренного треугольника проведены медианы, длины которых равны 6. Синус угла между этими медианами равен 1/3. найти площадь треугольника
1)4
2)8
3)16
4)32

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABC. В нем провели медианы AE и CD. Так как D - середина AB, E - середина BC, то DE - средняя линия ABC.
Треугольники DBE и ABC подобны с коэффициентом подобия 1/2. То есть S_DBE / S_ABC = (1/2)^2=1/4.
S_ABC=4*S_DBE,
S_ADEC = S_ABC - S_DBE = 3*S_DBE,
Отсюда S_ABC = 4/3 * S_ADEC.
Рассмотрим четырехугольник ADEC. Это равнобокая трапеция, у которой диагонали равна d=6, а синус угла между диагоналями равен sinα=1/3. Площадь его равна S_ADEC=1/2*d^2*sinα=1/2*6^2*1/3=6.
S_ABC=4/3*6=8.
Ответ: 2)8.