1) f(x)=−x³+3x²−4Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:
y = −0³+3⋅0²−4 = -4.Точка: (0, -4)
Пересечение с осью абсцисс (OX):
График пересекает ось X, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в -x^3 + 3*x^2 - 4.
−x³+3x²−4 = 0.
Один корень определяем методом подбора - это х = -1.
Далее делим трёхчлен −x³+3x²−4 на х+1.
Получаем -х²+4х-4 = -(х²-4х+4) = -(х-2)².
Второй корень х = 2.
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0 (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=0−3x²+6x=0-3х(х-2) = 0
x1=0x2=2.Значит, экстремумы в точках: (0, -4), (2, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
х -0.5 0 0.5
1.5 2 2.5
у'=-3x²+6x -3.75 0
2.25
2.25 0 -3.75.
Где производная меняет знак с - на + это минимум функции
Минимум функции в точке x2=0.
Где производная меняет знак с + на - это максимум функции
Максимум функции в точке x2=2.
Убывает на промежутке [0, 2].
Возрастает на промежутке (-oo, 0] U [2, oo).Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,
d2dx2 f(x)= 6(−x+1)=0.Корни этого уравнения x1=1.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутке (-оо, 1].
Выпуклая на промежутке [1, oo).Горизонтальных и наклонных асимптот нет.Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем: f(-x) = х³ + 4х² - 4.
-f(-x) = -х³ - 4х² + 4.
- Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.