Проверить окончания у глаголов нам помогут инфинтивы (т.к. с помощью них мы сможем определить, к какому спряжению относится глагол)
Итак, разнос..тся. Это слово образовано от инфинитива разносИТЬся.
Этот инфинитив оканчивается на -ИТЬ, а значит, что это второе спряжение (если не на -ИТЬ, то первое). При втором спряжении пишутся оконочания "-ат" и "-ят". Значит пишем букву я.
:)