1) 2cos^2 x - 5sin x + 1 = 0
2 - 2sin^2 x - 5sin x + 1 = 0
-2sin^2 x - 5sin x + 3 = 0
2sin^2 x + 5sin x - 3 = 0
Квадратное уравнение относительно sin x
D = 5^2 - 4*2(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2
sin x = (-5 - 7)/4 = -12/4 = -3
Решений нет
sin x = (-5 + 7)/4 = 1/2
x = (-1)^k*pi/6 + pi*k
2) f(x) = (2x^3 - 1) / (2x^4 - 8)
f ' (x) = [6x^2*(2x^4 - 8) - (2x^3 - 1)*8x^3] / (2x^4 - 8)^2 =
= (12x^6 - 48x^2 - 16x^6 + 8x^3) / (2x^4 - 8)^2 = (-4x^6 + 8x^3 - 48x^2) / (2x^4 - 8)^2 = 0
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
-4x^6 + 8x^3 - 48x^2 = 0
Делим всё на -4
x^6 - 2x^3 + 12x^2 = 0
а) x1 = x2 = 0; f(0) = (-1)/(-8) = 1/8
Но производная отрицательна и при x < 0, и при x > 0.
Поэтому x = 0 - критическая точка, но не экстремум, а точка перегиба.
Потому что в ней f '' (x) = 0
б) x^4 - 2x + 12 = 0
Это уравнение действительных корней не имеет
в) У функции ещё есть точки разрыва
2x^4 - 8 = 0
x^4 - 4 = 0
x1 = -√2
x2 = √2
Но производная все равно отрицательна при всех x, кроме точек разрыва.
Ответ: функция убывает на всей области определения.
3) (2/3)^(2x+3) <= (9/2)^(x-2)<br>(2/3)^(2x) * (2/3)^3 <= (9/2)^x * (2/9)^2<br>(4/9)^x * 8/27 <= (9/2)^x * 4/81<br>(4/9 * 2/9)^x <= (4/81) * (27/8)<br>(8/81)^x <= 1/6<br>Основание 0 < 8/81 < 1, поэтому график убывает.
При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется
5) 
6) f(x) = x^2 - 2x; x0 = 3
f(x0) = 3^2 - 2*3 = 9 - 6 = 3
f ' (x) = 2x - 2
f ' (x0) = 2*3 - 2 = 4
Уравнение касательной
y = f(x0) + f ' (x0)*(x - x0) = 3 + 4(x - 3) = 3 + 4x - 12
y = 4x - 9