Содержит ли область значений функции y=-4x²+4√5x - 5 + √3 отрезок [0;√2

Выделим полный квадрат:

$y(x)=-4x^2+4 \sqrt{5}x-5+ \sqrt{3}=-4(x^2+ \sqrt{5}x )-5+ \sqrt{3}=$
$=-4(x^2+ 2*x* \frac{ \sqrt{5} }{2} )-5+ \sqrt{3} =$
$=-4(x^2+ 2*x* \frac{ \sqrt{5} }{2}+( \frac{ \sqrt{5} }{2} )^2-( \frac{ \sqrt{5} }{2} )^2)-5+ \sqrt{3}=$
$=-4[(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2-\frac{5}{4}]-5+ \sqrt{3}=$
$=-4(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2+(-4)*(-\frac{5}{4})-5+ \sqrt{3}=$
$=-4(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2+5-5+ \sqrt{3}=$
$=-4(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2+ \sqrt{3}$

Выражение $(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2 \geq 0$
по этому выражение $-4(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2 \leq 0$
и тогда выражение $-4(x+ \frac{ \sqrt{5} }{2})^2+ \sqrt{3} \leq \sqrt{3}$
т.е. область значений функции $y(x)$ это интервал $(-\infty; \sqrt{3}]$
который содержит интервал $[0; \sqrt{2}]$

Ответ: да содержит