№1. Пользуясь методом математической индукции, доказать, что для любого натурального...

№1.
База:
n = 1: $\frac{1}{1 * 2} = \frac{1}{1 + 1}$
Шаг:
Допустим, что мы доказали, что наше равенство верно для n = k, то есть $\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}$ , теперь докажем, что это верно для n = k + 1, то есть, что $\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}$
Переход:
$\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$ = $(\frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + ... + \frac{1}{k(k + 1)}) + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$ = $( \frac{k}{k + 1}) + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k(k + 2)}{(k + 1)(k + 2)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$ = $\frac{k(k + 2) + 1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{(k + 1)^{2}}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}$ . Что и требовалось доказать. Значит для любого числа выполняется это равенство.