Решите пожалуйста уравнение: 5sin x+cos x=5

Question 1

Решите пожалуйста уравнение:
5sin x+cos x=5

Question 2

Решите задачу:

$5sinx+cosx=5\, |:\sqrt{26}\\\\\frac{5}{\sqrt{26}}\cdot sinx+\frac{1}{\sqrt{26}}\cdot cosx= \frac{5}{\sqrt{26}} \\\\Tak\; kak\; \; ( \frac{5}{\sqrt{26}} )^2+( \frac{1}{\sqrt{26}} )^2=1\; ,\; to\; \; \frac{5}{\sqrt{26}}=sin \alpha , \frac{1}{\sqrt{26}} =cos \alpha \\\\ tg \alpha =5\; \; \to \; \; \alpha =arctg5\\\\sin \alpha \cdot sinx+cos \alpha \cdot cosx= \frac{5}{\sqrt{26}} \; ,\; \; \alpha =arctg5\\\\cos(x- \alpha )= \frac{5}{\sqrt{26}} \\\\x- \alpha =\pm arccos \frac{5}{\sqrt{26}} +2\pi n\; ,\; n\in Z$

$x= \alpha \pm arccos \frac{5}{\sqrt{26}} +2\pi n,\; n\in Z\\\\x=arctg5\pm arccos \frac{5}{\sqrt{26}} +2\pi n\; ,\; n\in Z$

Question 3

$5sin x+cos x=5 \\$
Очевидно, что X≠ π + 2πk .

Поэтому можно воспользоваться формулами
cos α = (1 – tg²α/2)/(1 + tg²α/2)
sin α = (2 tg α/2)/(1 + tg²α/2)

Тогда исходное уравнение примет вид:

$\frac{5*2 tg \frac{x}{2} }{1+tg^{2}\frac{x}{2} } + \frac{1-tg^{2}\frac{x}{2} }{1+tg^{2}\frac{x}{2} } =5 \\ \frac{10tg \frac{x}{2} +1-tg^{2}\frac{x}{2} } {1+tg^{2}\frac{x}{2} } =5 \\ 10tg \frac{x}{2} +1-tg^{2}\frac{x}{2} = 5(1+tg^{2}\frac{x}{2} ) \\ 10tg \frac{x}{2} +1-tg^{2}\frac{x}{2} = 5 +5tg^{2}\frac{x}{2} \\ 6tg^{2}\frac{x}{2} - 10tg \frac{x}{2} + 4 = 0 \\$

Замена
$tg \frac{x}{2} = y \\ \\ 6 y^{2} - 10y+4=0 \\ 3 y^{2} - 5y+2=0 \\ D = 25 -24=1 \\ y_{1} = \frac{5+1}{6} = 1 \\ y_{2} = \frac{5-1}{6} = \frac{2}{3} \\$

$tg \frac{x}{2} = 1 \\ \frac{x}{2} = \frac{ \pi }{4} + \pi k; \\ x= \frac{ \pi }{2} + 2 \pi k\\ \\ tg \frac{x}{2} = \frac{2}{3}\\ \frac{x}{2} = arctg \frac{2}{3} + \pi k; \\ x=2arctg \frac{2}{3} + 2\pi k \\$

ОТВЕТ: $\frac{ \pi }{2} + 2 \pi k; 2arctg \frac{2}{3} + 2\pi k .$