Пожалуйста, помогите решить

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Область определения x < 2; x > 0 => x Є (0, 2)
И еще x =/= 1, потому что $log_{15}(1)=log{25}(1)=log_9(2-1)=log_{15}(2-1)=0$
x Є (0; 1) U (1; 2)

$\frac{log_9(2-x) - log_{15} (2-x)}{log_{15} (x) - log_{25} (x)} \leq log_{25}(9)$
По свойству логарифмов $log_a(b)= \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$
Причем новое основание с может быть любым, например, 10.
$( \frac{lg(2-x)}{lg(9)}- \frac{lg(2-x)}{lg(15)}):( \frac{lg(x)}{lg(15)}- \frac{lg(x)}{lg(25)}) \leq \frac{lg(9)}{lg(25)}$
Далее, $log_a(b^n)=n*log_a(b); log_a(b*c)=log_a(b)+log_a(c)$
Поэтому $lg(9) = 2lg(3); lg(15)=lg(3)+lg(5); lg(25)=2lg(5)$
$\frac{lg(2-x)*lg(15)-lg(2-x)*lg(9)}{2lg(3)*lg(15)}: \frac{lg(x)*lg(25)-lg(x)*lg(15)}{2lg(5)*lg(15)} \leq \frac{lg(9)}{lg(25)}$
$\frac{lg(2-x)*(lg(15)-lg(9))}{2lg(3)*lg(15)}* \frac{2lg(5)*lg(15)}{lg(x)*(lg(25)-lg(15))} \leq \frac{2lg(3)}{2lg(5)}$
$\frac{lg(2-x)*lg(15/9)}{lg(3)}* \frac{lg(5)}{lg(x)*lg(25/15)} \leq \frac{lg(3)}{lg(5)}$
$\frac{lg(2-x)*lg(5/3)}{lg(3)}* \frac{lg(5)}{lg(x)*lg(5/3)} \leq \frac{lg(3)}{lg(5)}$
$\frac{lg(2-x)}{lg(x)}* \frac{lg(5)}{lg(3)} \leq \frac{lg(3)}{lg(5)}$
$\frac{lg(2-x)}{lg(x)} \leq (\frac{lg(3)}{lg(5)})^2$
Обозначим правую часть а, на самом деле
$a=(\frac{lg(3)}{lg(5)})^2$ ≈0.46595121675...
$\frac{lg(2-x)}{lg(x)} \leq a$
$lg(2-x) \leq a*lg(x)=lg(x^a)$
$2-x \leq x^a$
$x^a+x \geq 2$
При x Є (0; 1) будет x^a ≈ x^(0,5) = √x > x, но √x < 1; 1 < x^a + x < 2, не подходит
При x Є (1; 2) будет x^a ≈ x^(0,5) = √x < x, но √x > 1, x^a + x > 2 - подходит.
Ответ: (1; 2)

mefody66_zn (320k баллов) 29 Апр, 18