Решите в натуральных числах: x+

Question

Решите в натуральных числах:
x+

Comments

цепная дробь)

---

10/7 = 1+3/7; x=1, 3/7 = 1/(y+1/z)

---

А как доказать, что x=1?

---

x - может быть только натуральным, пойдем методом от противного, пусть x>1, т.е. N/{1}, получается выражение 2+1/(y+1/z), т.к справа часть неотрицательна, т.к. выражение только при натуральных числах, а слева больше, чем 10/7, то при x>1 нет решений

---

А как подсчитать, чему равем y и z? Cпасибо)

---

Попытаться представить 10/7 в виде цепной дроби до такого вида, про них в интернете прочитать можно

---

Спасибо!

---

Если не найдете ничего, можете в личные сообщения написать - помогу.

Answer 1

X+1/(y+1/z)=10/7
x+1/(y+1/z)
x+1/(y+1/z)=1³/₇
x+1(y+1/z)=1+3/7
x=1
1/(y+1/z)=3/7
y+1/z=7/3
y+1/z=2¹/3
y+1/z=2+1/3  ⇒
y=2   z=3
Ответ:  x=1   y=2   z=3.

Answer 2

 (*)

Видим, что  произведение двух множителей даёт число 7.
Причём  первая скобка  при  любых натуральных y и z  будет всегда положительна.  Тогда и вторая скобка обязана быть положительной, поскольку результат произведения скобок -  положителен.

=>    , где  х ∈  N.
Очевидно, что  таким числом может быть только 1:  
 

Итак,  нашли, что   х = 1.

Теперь подставим это значение х в уравнение  (*). Получим:



=>  y=2,   z=3

Ответ:  x=1;  y=2;   z=3.