В правильной четырех-угольной пирамиде MABCD c вершиной M стороны основания равны 9/2, а...

0 голосов
89 просмотров

В правильной четырех-угольной пирамиде MABCD c вершиной M стороны основания равны 9/2, а боковые ребра равны 12. Найти площадь сечения пирамиды, плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра AM параллельно прямой BD это С2, будет лучше если с решинием

Математика (158 баллов) | 89 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

На вложенном рисунке диагональные сечения пирамиды с введенными обозначениями:

P - середина AM

O - центр основания, она же основание высоты

Q - проекция P на основание

L - пересечение  высоты пирамиды и CP

K и N - точки пересечения ребер MD и MB плоскостью сечения (по условию эта прямая параллельна BD).

 

Теперь рассмотрим длины некоторых отрезков:

|AC| = |BD| = \frac{9}{\sqrt{2}}

Из подобия треугольников APQ и AMO

|AQ| = \frac{|AO|}{2} = \frac{|AC|}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{8}

|MO|= \sqrt{12^2-(\frac{9\sqrt{2}}{4})^2}}=\sqrt{\frac{1071}{8}}=3\sqrt{\frac{119}{8}}

Достаточно очевидно, что

\frac{|QC|}{|OC|} = \frac{3}{2}

из подобия треугольников CPQ и CLO имеем:

\frac{|PQ|}{|LO|} = \frac{QC}{OC} = \frac{3}{2}

следовательно:

|LO| = \frac{2}{3}|PQ| = \frac{2}{3}(\frac{1}{2}|MO|) = \frac{|MO|}{3} = \sqrt{\frac{119}{8}}

Из подобия треугольников MDB и MKN:

|KN| = \frac{|ML|}{|MO|}|DB| = \frac{2}{3}|DB| = \frac{9\sqrt{2}}{3}

|PC| = \sqrt{|PQ|^2+|QC|^2} = \sqrt{\frac{9*119}{4*8}+\frac{9*81}{16*2}} =\\ = \sqrt{\frac{900}{16}}=\frac{15}{2}

Вполне очевидно, что BD перпендикулярно плоскости ACM

Следовательно и KN перпендикулярно ей, а значит и прямой PC

А т.к. диагонали четырехугольника CKPN перпендикулярны, то его площадь равна произведению длин этих диагоналей...

S = |PC|*|KN| = \frac{15}{2}*\frac{9\sqrt{2}}{3}=\frac{45\sqrt{2}}{2}\approx 31.82

image
(11.5k баллов)
Похожие задачи