С2. дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, стороны основания которой равны а....

Question

С2. дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, стороны основания которой равны а. Найдите угол между прямыми А1В и АС1, если сумма длин всех сторон обеих оснований равна АА1.

Answer 1

Достроим заданную призму до прямой четырехугольной призмы ABDCB1B1D1C1.  Соединим отрезками точки В и D1, A1 и D1 . Ясно, что ВD1||АC1, уголA1BD1- искомый. AA1=6a

По теореме Пифагора получим: (A1B)^2=a^2+36a^2=37a^2. Очевидно, что также (BD1)^2=37a^2

По теореме косинусов будем иметь: (A1D1)^2 = (A1B)^2+(BD1)^2-2A1B*BD1cosф, где  - ф искомый  угол.

Вычислим  (A1D1)^2 также по теореме косинусов. (A1D1)^2=(A1B1)^2+(B1D1)^2-2A1B1*B1D1cos(180-60)=a^2+a^2+2a^2*1/2=3a^2.

 Итак, 3a^2=37a^2+37a^2-2*(a корень из 37)*(a корень из 37)*cosф.

cosф=(71a^2)/(74a^2)=71/74

.