Интеграл | pi(сверху) -pi(снизу) xsin(x)cos(x)dx=? Пожалуйста с подробным решением

Решите задачу:

$I= \int\limits^{\pi}_{-\pi} {xsinxcosx}\, dx$

$\int {xsinxcosx}\, dx = \frac{1}{2} \int xsin2xdx=-\frac{1}{4} \int xd(cos2x)=\\ =-\frac{1}{4} xcos2x+ \frac{1}{4} \int cos2xdx= -\frac{1}{4} xcos2x+ \frac{1}{8} sin2x+C$

$I=(-\frac{1}{4} xcos2x+ \frac{1}{8} sin2x)|_{-\pi}^{\pi}=(-\frac{ \pi }{4} cos2 \pi + \frac{1}{8} sin2 \pi )-\\ -(\frac{ \pi }{4} cos2 \pi - \frac{1}{8} sin2 \pi )=-\frac{ \pi }{4} -\frac{ \pi }{4} =-\frac{ \pi }{2}$