Помогите решить уравнение (я не понимаю, что делать с ОДЗ): 2tgx - 3ctgx = 1.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$2\mathrm{tg}x - 3\mathrm{ctg}x = 1$
ОДЗ:
Для тангенса, так как это отношение синуса к косинусу, необходимо потребовать выполнение следующего условия:
$\cos x \neq 0\Rightarrow x \neq \frac{ \pi }{2} + \pi n, \ n\in Z$
Аналогично, для котангенса - отношения косинуса к синусу:
$\sin x \neq 0\Rightarrow x \neq \pi n, \ n\in Z$
Получившиеся два условия можно объединить в одно следующим образом:
$x \neq \frac{ \pi m}{2} , \ m\in Z$
Решаем уравнение:
$2\mathrm{tg}x - 3\mathrm{ctg}x = 1 \\\ 2\mathrm{tg}x - \frac{3}{\mathrm{tg}x} = 1$
Можно домножить на tgx, так как тангенс достигает значения 0 в точках, не принадлежащих ОДЗ:
$2\mathrm{tg}^2x - 3= \mathrm{tg}x \\\ 2\mathrm{tg}^2x -\mathrm{tg}x- 3= 0 \\\ D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)=1+24=25 \\\ \mathrm{tg}x_1= \frac{1+5}{2\cdot2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x_1=\mathrm{arctg} \frac{3}{2} + \pi n, \ n\in Z \\\ \mathrm{tg}x_2= \frac{1-5}{2\cdot2} = -1 \Rightarrow x_2=- \frac{ \pi }{4} + \pi n, \ n\in Z$
Все корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\mathrm{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$ и $- \frac{ \pi }{4} + \pi n$ , где n - целые числа

Artem112_zn (271k баллов) 26 Апр, 18