Основы трапеции ВС=20см АД=30см, диагонали АС 24см, ВД 41см пересекаются в точке О. найти...

Смотрим чертеж. Он - во вложении.
Обозначаем СО=х, ВО=у. Тогда АО=24-х, DO=41-y.
Т.к. BC||AD, BD и AC - секущие, то Δ ВОС и Δ AOD - подобные по двум углам (равные углы показаны на чертеже). Следовательно, для сходственных сторон этих треугольников имеем:
$\frac{x}{24-x} = \frac{y}{41-y} = \frac{20}{30}$
Рассмотрим $\frac{x}{24-x} = \frac{20}{30}$
3x=48-2x
5x=48
x=9,6 ⇒ CO=9,6 см и AO=24-9,6=14,4 см.
Рассмотрим $\frac{y}{41-y} = \frac{20}{30}$
3у=82-2у
5у=82
у=16,4 ⇒ ВO=16,4 см и DO=41-16,4=24,6 см.
$P_{BOC}$ =20+9,6+16,4=46 см
$P_{AOD}$ =30+24,6+14,4=69 см
Ответ: 46 см, 69 см.