График первой функции y1 = x^2 - 6x + 10 - парабола с ветвями вверх, график второй функции y2 = x - невертикальная прямая. Поэтому если они пересекаются в точках, абсциссы которых равны x1 и x2, график первой функции на отрезке x∈[x1;x2] находится ниже графика второй функции. Поэтому площадь фигуры, заключенной этими графиками, равна ∫(y2 - y1)dx от x1 до x2.
Найдем y2-y1:
y2-y1 = x - (x^2 - 6x + 10) = -x^2 + 7x - 10
Теперь найдем абсциссы точек пересечения:
-(x^2 - 7x + 10) = 0
x1 = 2, x2 = 5.
Находим неопределенный интеграл:
∫(y2 - y1)dx = ∫(-x^2 + 7x - 10)dx = -1/3 * x^3 + 7/2*x^2 - 10x + C
Найдем теперь определенный интеграл, подставив границы:
(-1/3 * 5^3 + 7/2*5^2 - 10*5) - (-1/3 * 2^3 + 7/2*2^2 - 10*2) = 9/2 = 4.5