Помогите решить пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Находим для всех чисел аргумент и модуль. Дальше (например, используя экспоненциальную запись)

3)
$\left|-2-2i\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=(\sqrt{2})^3\\ \arg(-2-2i)=\pi+\mathop{\mathrm{arctg}} \dfrac{-2}{-2}=\dfrac{5\pi}4$
Итак, не забывая, что аргумент определён с точностью до 2π, получаем, что подкоренное выражение равно
$-2-2i=(\sqrt2)^3e^{i(5\pi/4+2\pi n)}$
Тогда корень третьей степени получится следующим:
$\sqrt[3]{-2-2i}=\sqrt{2}e^{i(5\pi/12+12\pi n/3)}$
n = 0, 1, 2 дадут три различных корня
$\sqrt{2}e^{i5\pi/12}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}+i\dfrac{\sqrt3+1}{2}$
$\sqrt{2}e^{i13\pi/12}=-\dfrac{\sqrt3+1}{2}-i\dfrac{\sqrt3-1}{2}$
$\sqrt{2}e^{i7\pi/4}=1-i$
(Корни можно оставить и в экспоненциальной записи)

4) Аналогично,
$4i=4e^{i\pi/2+i2\pi n}$
$\sqrt{4i}=2e^{i\pi/4+i\pi n}=\pm(\sqrt2+i\sqrt2)$

5) Ответ можно получить из уже рассмотренного в пункте 3. В самом деле, поскольку $1-i=\overline{1+i}=-\frac12\cdot\overline{-2-2i}$ (черточка сверху - комплексное сопряжение), то $\sqrt[3]{1-i}=\sqrt[3]{-1/2}\overline{\sqrt[3]{-2-2i}}$ , где в качестве первого сомножителя можно брать любой из кубических корней из -1/2, например, вещественный.
Тогда
$\sqrt[3]{1-i}=-\dfrac1{\sqrt[3]2}\sqrt{2}e^{-i(5\pi/12+12\pi n/3)}=\sqrt[6]{2}\exp(-i(\pi+5\pi/12+12\pi n/3))$

nelle987_zn (148k баллов) 26 Апр, 18