Упростите выражение #220

$\sqrt[3]{2 + \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5} } = t$

Возведем обе части в куб:
$(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5} } )^{3} = t ^{3}$

Раскроем правую часть :
$2 + \sqrt{5} + 3 \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5} )^{2}(2 - \sqrt{5} ) } + 3 \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5} )(2 - \sqrt{5} )^{2} } + 2 - \sqrt{5} = t^{3}$

$4 + 3 \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5} )(2 - \sqrt{5} )(2 + \sqrt{5} ) } + 3 \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5} )(2 - \sqrt{5} )(2 - \sqrt{5} )} = t^{3}$

$4 + 3 \sqrt[3]{(2^{2} - \sqrt{5^{2}} )(2 + \sqrt{5} ) } + 3 \sqrt[3]{(2^{2} - \sqrt{5^{2}} )(2 - \sqrt{5} )} = t^{3}$

$4 - 3 \sqrt[3]{2 + \sqrt{5} } - 3 \sqrt[3]{2 - \sqrt{5} } = t^{3}$

$4 - 3( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5} } ) = t^{3}$

то, что в скобках и есть выражение, которое мы обозначили за t в самом начале, значит, и теперь можно вместо него написать t:

" alt="4 - 3t = t^{3}" align="absmiddle" class="latex-formula">

t^{3} + 3t - 4 = 0" alt="t^{3} + 3t - 4 = 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

" alt="t^{3} - 1 + 3t - 3 = 0" align="absmiddle" class="latex-formula">
$(t - 1) (t^{2} + t + 1)+ 3(t - 1) = 0$
$(t - 1)(t^{2} + t + 4) = 0$

t - 1 = 0 или $t^{2} + t + 4 = 0$
Второе уравнение не имеет решений.
из первого следует, что t = 1.

Ответ: 1