Найдите все значения параметра а ,при каждом из которых неравенство имеет единственное...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\left | \frac{x^2-x-2a}{x-a}-1\right | \leqslant 2\\ \left | \frac{x^2-2x-a}{x-a}\right | \leqslant 2\\ -2 \leqslant \frac{x^2-2x-a}{x-a} \leqslant 2\\ 2a-2x \leqslant x^2-2x-a \leqslant 2x-2a$

$\begin{cases} 2a-2x \leqslant x^2-2x-a \\ x^2-2x-a\leqslant 2x-2a \end{cases}\\ \begin{cases} x^2 - 3a \geqslant 0\\ x^2-4x +a \leqslant 0 \end{cases}\\$

$\begin{cases} x \leqslant -\sqrt{3a}\\ x \geqslant \sqrt{3a}\\ 2-\sqrt{4-a} \leqslant x \leqslant 2+\sqrt{4-a} \end{cases}$

Поскольку неравенство должно иметь единственное решение на отрезке, отрезки значений из нашей системы могут пересекаться с данным отрезком только в граничных точках, либо длина отрезка нашей системы долна быть равна 0 ... иными словами...

$\begin{cases} 2+\sqrt{4-a} = \sqrt{3a}\\ \begin{cases} 2-\sqrt{4-a} =3\\ 2+\sqrt{4-a} = 1\\ 4-a =0 \end{cases} \end{cases}$

Вторая (вложенная систмеа не имеет решения, а для верхнего уравнения имеем

$2+\sqrt{4-a} = \sqrt{3a}\\ 4 + 4\sqrt{4-a}+4-a = 3a\\ 4\sqrt{4-a}=4a-8\\ \sqrt{4-a}=a-2\\ 4-a = a^2 - 4a+4\\ a^2 = 3a$

при а=0 значение x не попадает в установленный интервал, с другой стороны по условию a<>x (иначе знаменатель равен нулю), но при a=3 из условия

$x=\sqrt{3a}$

получим, что x=3 а значит x=a.

Ответ таких а не существует

hELFire_zn (11.5k баллов) 11 Март, 18