Перепишем неравенства, выделив полные квадраты:
(x - a)² + (y + a)² ≤ (a + 1)²
(x + 2a)² + (y - 3a)² ≤ (4a - 1)²
Решение первого неравенства - замкнутый круг с центром в точке (a, -a) и радиусом |a + 1|
Решение второго неравенства - замкнутый круг с центром в точке (-2a, 3a) и радиусом |4a - 1|
Понятно, что у системы будет единственное решение, если круги будут внешне касаться, так получится, если расстояние между центрами совпадет с суммой радиусов.
Расстояние между центрами по теореме Пифагора равно √((3a)² + (4a)²) = 5|a|, сумма радиусов |a + 1| + |4a - 1|
5|a| = |a + 1| + |4a - 1|
а) a ≤ -1:
-5a = -a - 1 - 4a + 1
0 = 0 - верное равенство, все a ≤ -1 входят в ответ
б) -1 < a ≤ 0:
-5a = a + 1 - 4a + 1
a = -1 - не входит в диапазон, не решение
в) 0 < a ≤ 1/4:
5a = a + 1 - 4a + 1
a = 1/4 - решение
г) a > 1/4:
5a = a + 1 + 4a - 1
0 = 0 - верное равенство, весь промежуток входит в ответ.
Ответ. a ∈ (-∞, -1] ∪ [1/4, +∞)