1) х; у - катеты
с - гипотенуза;
радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле: r=(х+у-с)/2;
так как r=1, то: х+у-с=2; (1)
2) так как периметр равен 10, то:
х+у+с=10; (2)
3) сложии (1) и (2):
х+у-с+х+у+с=2+10
2(х+у)=12
х+у=6
у=6-х; (3)
4) теперь из (1) вычтем из (2):
х+у-с-х-у-с=2-10
-2с=-8
с=4
5) по теореме Пифагора:
с^2=х^2+у^2;
4^2=х^2+(6-х)^2
х^2+36-12х+х^2=16
2х^2-12х+20=0
х^2-6х+10=0
D=6^2-4*10=36-40=-4;
корней решения нет;
5) Значит, в прямоугольный треугольник с периметром 10 нельзя вписать окружность радиусом 1.