Исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области
определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x)
= (–x)⁴+4(–x)²
= х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)²
= (x4+4x²) ≠ –f(x)
Функция является четной. Функция
непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, -x⁴+4x²=0, -x²(x²–4)=0 ⇒
x=0, x=+-2. Значит
(0;0), (-2;0) и (2;0)- точки пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒
y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью
Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=0 ⇒
-4x³+8x =0
⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x =
0, x = √2, х = -√2 критические точки.
Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице
стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.
х = -1.5 -1.41 -1 -0.5 0
0.5 1 1.41 1.5
y '=-4x³+8x 1.5 0 -4 -3.5
0 3.5 4 0 -1.5
В точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум,
в точке х = 0
производная меняет знак с - на + это минимум.
7.
Вычисление второй производной: y''=0, -12x²+8 = 0,-4(3x²-2) =
0.
x=
-1.5
-0.8165
-1
1
0.816497
1.5
y''=-12x²+8 -19 0 -4 -4
0
-19
Отсюда имеем 2 точки перегиба:
х₁ = √(2/3),
х₂ = -√(2/3).
8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.
x= -1 -0.817
-0.5 0.5 0.817
1
y''=-12x²+8
-4 0 5 5
0
-4.
Функция вогнутая на промежутках
[-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(2/3)] U [sqrt(2/3), oo)
9. График функции приведен в приложении.