Помогите с дифф. уравненем. y'+(2y)/x=1/x^3

Question 1

Question 2

$y'+ \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^{3} }$
Для начала решим однородное дифф.ур-е, т.е ур-е без правой части
$\frac{dy}{2y} =- \frac{dx}{x}\\ \int\limits^} \, \frac{dy}{2y}= \int\limits^} \,-\frac{dx}{x}\\$
$\frac{1}{2} ln(y)=-ln(x)+C$
$e^{ x^{ \frac{1}{2}} } =e^{ x^-1}+C}$
$\sqrt{y}= \frac{C}{ x}$
$y= \frac{C^{2} }{ x^{2}}$ квадрат постоянной,равен самой постоянной

$y= \frac{C}{ x^{2}}$
Теперь, считаем, что C - это функция от x
$y= \frac{C(x)}{ x^{2}}$
подставляем в исходное уравнение
$(\frac{C(x)}{ x^{2}})'+ \frac{2y}{x}= \frac{1}{ x^{3}}$
$\frac{C'(x)* x^{2} -C(x)* (x^{2})' }{x^{4} } +\frac{2y}{x}= \frac{1}{ x^{3}}$

$\frac{C'(x)* x^{2} -C(x)* 2x }{x^{4} } +\frac{2y}{x}= \frac{1}{ x^{3}}$
преобразовывая данное уравнение получим:
$\frac{dC(x)}{dx} = \frac{1}{x} \\ C(x)=lnx+C2$
общее решение дифференциального уравнения
$y= \frac{lnx+C2}{ x^{2}}$

pororoplol_zn · Answer 1 · 2018-04-25T23:15:59+0000

$y'+ \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^{3} }$
Для начала решим однородное дифф.ур-е, т.е ур-е без правой части
$\frac{dy}{2y} =- \frac{dx}{x}\\ \int\limits^} \, \frac{dy}{2y}= \int\limits^} \,-\frac{dx}{x}\\$
$\frac{1}{2} ln(y)=-ln(x)+C$
$e^{ x^{ \frac{1}{2}} } =e^{ x^-1}+C}$
$\sqrt{y}= \frac{C}{ x}$
$y= \frac{C^{2} }{ x^{2}}$ квадрат постоянной,равен самой постоянной

$y= \frac{C}{ x^{2}}$
Теперь, считаем, что C - это функция от x
$y= \frac{C(x)}{ x^{2}}$
подставляем в исходное уравнение
$(\frac{C(x)}{ x^{2}})'+ \frac{2y}{x}= \frac{1}{ x^{3}}$
$\frac{C'(x)* x^{2} -C(x)* (x^{2})' }{x^{4} } +\frac{2y}{x}= \frac{1}{ x^{3}}$

$\frac{C'(x)* x^{2} -C(x)* 2x }{x^{4} } +\frac{2y}{x}= \frac{1}{ x^{3}}$
преобразовывая данное уравнение получим:
$\frac{dC(x)}{dx} = \frac{1}{x} \\ C(x)=lnx+C2$
общее решение дифференциального уравнения
$y= \frac{lnx+C2}{ x^{2}}$