Факт 1.
Из всех многоугольников одинакового периметра и с равным числом сторон наибольшую площадь будет иметь правильный многоугольник; а если окружность круга и периметр правильного многоугольника равны, то площадь круга будет всегда больше площади правильного многоугольника.
Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны (финикийская царевна, IX век до н.э.).