Докажите, что для любых а≠b для функции f(x) = х^2 выполняется неравенство

0 голосов
26 просмотров

Докажите, что для любых а≠b для функции f(x) = х^2 выполняется неравенство f\left( \frac{ a+b}{2}\right)\ \textless\frac{f( a)+f(b)}{2}


Алгебра (2.0k баллов) | 26 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
a, b &\ (a\neq b)& \ \ \ &f(x)=x^2\\\\
\ \ \ \ \ f( \frac{a+b}{2})\ \textless \ f \frac{f(a)+f(b)}{2}

Решение (доказательство):

f( \frac{a+b}{2})= (\frac{a+b}{2})^2= \frac{(a+b)^2}{4} \\\\
 \frac{f(a)+f(b)}{2}= \frac{a^2+b^2}{2}
 
что и требовалось доказать

Нужно доказать, что \forall \ a,b\ \ (a\neq b)

\frac{(a+b)^2}{4}\ \textless \ \frac{a^2+b^2}{2}

Рассмотрим верное неравенство:

(a-b)^2\ \textgreater \ 0, если  a\neq b

a^2-2ab+b^2\ \textgreater \ 0\\\\
2ab\ \textless \ a^2+b^2

Добавим к обеим частям сумму a^2+b^2

a^2+2ab+b^2\ \textless \ 2(a^2+b^2)\\\\
(a+b)^2\ \textless \ 2(a^2+b^2)\ \ \ |:4\\\\
 \frac{(a+b)^2}{4}\ \textless \ \frac{a^2+b^2}{4}, \ \ \ \forall \ \ a\neq b
(4.5k баллов)
0

зачем фраза "что и требовалось доказать"? Доказано же после

0

Вы правы, опечатка прокралась не в ту сторону...

0

спасибо