Меня интересует ход решения, так как не совсем могу понять что из чего вышло. Если кто...

Question

50 просмотров

Меня интересует ход решения, так как не совсем могу понять что из чего вышло. Если кто может - объясните русским языком. Нижняя строка решения мне не понятна совсем. что от куда взялось?
* В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность
того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными.
N = 20, n = 5, m = 4, k = 2.

Математика Nakuruma_zn (15 баллов) 25 Апр, 18 | 50 просмотров

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Верхняя строка - это основные формулы комбинаторики,
С²₅ = 5!/(5-2)!*2! = 5!/3!*2! - в числителе факториал (обозначается !) нижнего индекса (здесь равен 5), в знаменателе факториал разности нижнего и верхнего индексов (5-2) умножить на факториал верхнего индекса
Таким же образом распишем
С²₁₅ = 15!/(15-2)!*2! = 15!/13!*2!
С⁴₂₀ = 20!/(20-4)!*4! = 20!/16!*4!
а теперь заменим
С²₅ * С²₁₅ = 5!/(3!*2!) * 15!/ (13!*2!) = (5!*15!)/(3!*2!*13!*2!)
а теперь всю дробь заменим
(С²₅ * С²₁₅ )/С⁴₂₀ = (С²₅ * С²₁₅ ) * 1/С⁴₂₀ =
=(5!*15!)/(3!*2!*13!*2!) * (16!*4!)/20! =
= (5!*15! *16!*4!)/(3!*2!*13!*2!*20!)
а дальше факториал представляете в виде произведения и сокращаете одинаковые множители

lara164_zn (84.7k баллов) 25 Апр, 18

red321_zn · Answer 1 · 2018-04-25T17:51:27+0000

По формуле классической вероятности:
Пусть w - кол-во всех возможных исходов
$v_A$ - кол-во благоприятных исходов.
Тогда вероятность наступления события A:
$P(A)=\frac{v_A}{n}$

Посчитаем w:
Мы берём m изделий из N штук, итого $C_N^m$

Посчитаем $v_A$ :
для начала выберем всеми способами k изделий из всех что есть с дефектом(у нас n). $C_n^k$
Итого мы взяли k≤m изделий. И если k≠m, то нам нужно добрать m-k изделий без дефекта(их у нас N-n). $C_{N-n}^{m-k}$ .
Перемножаем сочетания и получаем:
$v_a=C_n^k*C^{m-k}_{N-n}$

Посчитаем нашу вероятность(формула для сочетаний: $C^{k}_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ):
$P(A)=\frac{v_a}{w}=\frac{C_N^k*C^{m-k}_{N-n}}{C_N^m}=\frac{C_5^2C_{15}^2}{C_{20}^4}=\frac{\frac{5!}{2!(5-2)!}*\frac{15!}{2!(15-2)!}}{\frac{20!}{4!(20-4)!}}=\\=\frac{5!*15!*4!*(20-4)!}{2!(5-2)!*2!(15-2)!*20!}=\frac{5!*15!*4!*16!}{2!*3!*2!*13!*20!}=\\=[20!=16!*17*18*19*20]=\\=\frac{(3!*4*5)*(13!*14*15)*(1*2*3*4)*16!}{2*3!*2*13!*16!*17*18*19*20}=\frac{4*5*14*15*2*3*4}{2*2*17*18*19*20}=0.217$