Помогите, пожалуйста, с системой уравнений

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\left \{ {{2 \sqrt{x^2+y^2}+xy =1} \atop { \frac{x}{y} + \frac{y}{x} =a}} \right.$
Во-первых, область определения: x, y =/= 0
Во-вторых, заметим, что $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ при любых x и y одного знака.
Причем сумма равна 2 при x = y и больше 2 при x =/= y
И $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \leq -2$ при любых x и у разных знаков.
Причем сумма равна -2 при x = -y и меньше -2 при x =/= -y
Поэтому, если -2 < a < 2, то сразу ясно, что решений нет.

Теперь решаем систему для a <= -2 U a >= 2.
2 уравнение приводим к знаменателю xy
$\left \{ {{2 \sqrt{x^2+y^2}+xy =1} \atop { \frac{x^2+y^2}{xy} =a}} \right.$
2 уравнение подставляем в 1
$\left \{ {{2 \sqrt{a*xy}+xy =1} \atop { x^2+y^2=a*xy}} \right.$
В 1 уравнении делаем замену $\sqrt{|xy|} =t; xy=t^2$
$2 \sqrt{|a|} *t + t^2 - 1 = 0$
Мы взяли под корнем |a| и |xy|, потому что, если х и у разных знаков, то a < 0, xy < 0, a*xy > 0, $\sqrt{a*xy}$ определен, но $\sqrt{a}$ не определен.
t^2 + 2√|a|*t + |a| - |a| - 1 = 0
(t + √|a|)^2 = |a| + 1
t1 = √|xy| = -√|a| - √(|a| + 1)
Решений нет, потому что корень арифметический, то есть неотрицательный, а справа число отрицательное.
t2 = √|xy| = -√|a| + √(|a| + 1) = √(|a| + 1) - √|a|
Это решение, потому что справа число положительное при любом а.
Получается система
$\left \{ {{|xy| = ( \sqrt{|a|+1} - \sqrt{|a|} )^2 = |a| + 1 + |a| - 2 \sqrt{a^2+|a|} = 2|a| + 1 - 2 \sqrt{a^2+|a|} } \atop {x^2+y^2=a*xy=|a|(2|a| + 1 - 2 \sqrt{a^2+|a|})}} \right.$
Умножаем 1 уравнение на 2
$\left \{ {{2|xy| = 4|a| + 2 - 4 \sqrt{a^2+|a|} } \atop {x^2+y^2=|a|(2|a| + 1 - 2 \sqrt{a^2+|a|})}} \right.$
Складываем уравнения
$2xy+x^2+y^2 = 4|a| + 2 - 4 \sqrt{a^2+|a|}+2a^2 + |a| - 2|a| \sqrt{a^2+|a|}$
$(x+y)^2=2a^2 + 5|a|+2 - 2\sqrt{a^2+|a|}*(|a|+2)$
$(x+y)^2= (|a|+2)(2|a|+1) - 2\sqrt{a^2+|a|}*(|a|+2)$
$(x+y)^2= (|a|+2)(2|a|+1-2\sqrt{a^2+|a|})$
Теперь получили такую систему:
$\left \{ {{x+y= \sqrt{(|a|+2)(2|a|+1-2\sqrt{a^2+|a|}) } } \atop {|xy| = 2|a| + 1 - 2 \sqrt{a^2+|a|}}} \right.$
По теореме Виета х и у являются корнями квадратного уравнения
z^2 - (x+y)*z + |xy| = 0
Подставив вместо (x+y) и |xy| выражения через а, мы решим квадратное уравнение и, таким образом, решим начальную систему.
Интересно, есть ли способ проще?

mefody66_zn (320k баллов) 25 Апр, 18