Проверим это правило посчитав определитель второй степени:
![[\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}]\right] = 1*5 - 2*4 = -3](https://tex.z-dn.net/?f=%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D1%262%5C%5C4%265%5Cend%7Barray%7D%5D%5Cright%5D+%3D+1%2A5+-+2%2A4+%3D+-3 "[\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array}]\right] = 1*5 - 2*4 = -3")
Поменяем столбцы местами:
![[\begin{array}{cc}2&1\\5&4\end{array}]\right] = 2*4 - 1*5 = 3](https://tex.z-dn.net/?f=%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D2%261%5C%5C5%264%5Cend%7Barray%7D%5D%5Cright%5D+%3D+2%2A4+-+1%2A5+%3D+3 "[\begin{array}{cc}2&1\\5&4\end{array}]\right] = 2*4 - 1*5 = 3")
Если брать некоторые абстрактные значения:
![[\begin{array}{cc}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{array}]\right]= a_1*a_4 - a_2*a_3](https://tex.z-dn.net/?f=%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7Da_1%26a_2%5C%5Ca_3%26a_4%5Cend%7Barray%7D%5D%5Cright%5D%3D+a_1%2Aa_4+-+a_2%2Aa_3 "[\begin{array}{cc}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{array}]\right]= a_1*a_4 - a_2*a_3")
Пусть 
Поменяем столбцы местами:
0" alt="[\begin{array}{cc}a_2&a_1\\a_4&a_3\end{array}]\right] = a_2*a_3 - a_1*a_4 > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Далее можно было бы рассмотреть определитель n*n, но мне кажется, что и эта демонастрация будет весомым подкреплением моего заверения: что при перестановке столбцов знак определителя меняется на противоположный.
Во-первых, очень часто в системе уравнений вообще невозможно посчитать определитель, так как матрица отвечающая системе оказывается не квадратной.
А во-вторых, разумеется, определитель системы поменяет знак, если системе будет отвечать квадратная матрица и вы переставите столбцы.
Главное не путать матрицу элементов и определитель этой матрицы, это разные сущности!
Когда вы переставляете столбцы - вы меняете определитель, а система остается эквивалентной (когда перестановка осуществляется в пределах левой части, или в пределах правой. При переносе столбцов из левой в праву, или из правой в левую, надо домножать столбец на -1).