Андрей задумал натуральное число такое, что его запись в шестеричной системе счисления...

Question

Андрей задумал натуральное число такое, что его запись в шестеричной системе счисления имеет ровно четыре значащих разряда.
Он оставил своей сестре Оле 3 подсказки:
1. Две первые цифры записи этого числа в шестеричной системе являются одинаковыми между собой, и две последние цифры также одинаковые между собой.
2. Две первые цифры отличны от последних двух цифр.
3. Число является полным квадратом, то есть оно является квадратом некоторого целого числа.
Помогите девочке определить задуманное её братом число.
В ответе укажите это четырёхзначное число в шестеричной системе счисления без каких-либо знаков препинания, например, 1234

Answer 1

В шестеричной системе алфавит состоит из цифр 0,1,...5.
Четырехразрядное число по условиям задания (1) и (2) имеет вид aabb,
где a=1,2,...5, b=0,1,...5.
В развернутой записи число имеет вид
a×6³+a×6²+b×6+b×1 = 6²×a(6+1)+b(6+1) = 7(36a+b)
При этом по условию (3) можно записать, что k² = 7(36a+b)
Чтобы число 7(36a+b) было полным квадратом, 36a+b должно быть кратно 7, а остаток от деления (36a+b) на 7 также должен быть полным квадратом.
Получаем, что 36a+b = 7m²
Минимальное значение 36a+b равно 36×1+0 = 36, следовательно m>2 (при m=2 получим 7×4=28, что меньше 36).
При m=3 получаем 36a+b = 63 и при a∈[1;5], b∉[0;5] решений нет.
При m=4 получаем 36a+b = 112 и находим a=3, b=4 - есть решение!
При m=5 получаем 36a+b = 175 и при a∈[1;5], b∉[0;5] решений нет.
При m=6 получаем 36a+b = 175 и получаем, что a=7, а это недопустимо. Дальше смысла проверять нет.
Итак, a=3, b=4, число 3344₆ = 7×(36×3+4) = 784₁₀ = 28²

Ответ: 3344