Log(2)(7-x)+log(2)x>=1+log(2)(3) log(0,5)(3x-1)-log(0,5)(x-1)<=1+log(2)(3)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$1)$

$log_{2} (7-x)+ log_{2}x \geq 1+ log_{2}3$

ОДЗ:
$\left \{ {{7-x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 0}} \right.$

$\left \{ {{x\ \textless \ 7} \atop {x\ \textgreater \ 0}} \right.$

$x$ ∈ $(0;7)$

$log_{2} (7-x)+ log_{2}x \geq log_{2}2+ log_{2}3$

$log_{2} (7x-x^2) \geq log_{2}6$

$7x-x^2 \geq6$

$- x^{2} +7x-6 \geq 0$

$x^{2} -7x+6 \leq 0$

$D=(-7)^2-4*1*6=49-24=25=5^2$

$x_1= \frac{7+5}{2}=6$

$x_2= \frac{7-5}{2}=1$

+   - +
----------[1]--------------[6]-------------
////////////////////

С учётом ОДЗ получаем

Ответ: $[1;6]$

$2)$

$log_{0.5} (3x-1)- log_{0.5}(x-1) \leq 1+ log_{2}3$

ОДЗ:
$\left \{ {{3x-1\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right.$

$\left \{ {{3x\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right.$

$\left \{ {{x\ \textgreater \ \frac{1}{3} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right.$

$x$ ∈ $(1;+$ ∞ $)$

$log_{0.5} \frac{3x-1}{x-1} \leq log_{2}2 + log_{2}3$

$log_{ 2^{-1} } \frac{3x-1}{x-1} \leq log_{2}6$

$-log_{ 2 } \frac{3x-1}{x-1} \leq log_{2}6$

$log_{ 2 } \frac{x-1}{3x-1} \leq log_{2}6$

$\frac{x-1}{3x-1} \leq 6$

$\frac{x-1}{3x-1} -6\leq 0$

$\frac{x-1-6(3x-1)}{3x-1} \leq 0$

$\frac{x-1-18x+6}{3x-1} \leq 0$

$\frac{5-17x}{3x-1} \leq 0$

Найдём нули числителя и знаменателя:

$5-17x=0$    $3x-1=0$
$17x=5$     $3x=1$
$x= \frac{5}{17}$    $x= \frac{1}{3}$

- + -
-----------------[5/17]-----------(1/3)----------------
///////////////////// ///////////////////////

$x$ ∈ $(-$ ∞ $; \frac{5}{17} ]$ ∪ $( \frac{1}{3};+$ ∞ $)$

С учётом ОДЗ получаем

Ответ: $(1;+$ ∞ $)$

mukus13_zn (83.6k баллов) 24 Апр, 18