В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a, а биссектриса одного из острых углов...

Question

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a, а биссектриса одного из острых углов равна а/корень из. 3 Найдите катеты.

Answer 1

Пусть катеты x и y, и биссектриса угла между гипотенузой длины a и катетом x равна a/√3;
Тогда отрезки второго катета равны y*x/(x + a) и y*a/(x + a); и
(y*x/(x + a))^2 + x^2 = a^2/3;
x^2*(a^2 - x^2) + x^2*(x + a)^2 = a^2*(x + a)^2/3;
что легко приводится к виду
(x/a)^2 - (1/6)*x/a -1/6 = 0; (для начала надо сократить на (x + a) );
x/a = 1/2; то есть это треугольник с углом 60°;
y/a = √3/2;

Comments

Можно по -полробнее об отрезках второго катета

---

Поясните, пожалуйста, как в первом действии найдены отрезки второго катета?

---

ну хорошо :) раз это вызвало такую трудность, я открою этот ужасный секрет. Биссектриса делит катет y на два отрезка, отношение которых равно x/a (считая от вершины прямого угла - это основное свойство биссектрисы), а сумма равна y, само собой. Отсюда (после невероятно сложных вычислений :) ) получается один отрезок y*(x/(x + a)), другой y*(a/(x + a)); (можно проверить, что их отношение x/a, а сумма y, если еще не понятно)

---

Спасибо большое.

---

Не могла с места сдвинуться, видела решение только через тригонометрию.

Answer 2

Пусть 1/2(∠А)=в, тогда ∠АДВ=∠АСД+в-внешний угол треугольникаАСД
∠В=90-2в(сумма острых углов прям тр-ка АВС равна 90
По теореме синусов (для тр-каАДВ)
АВ/sin(∠ADB)=AD/sinB
a/sin(90+b)=(a/√3)/sin(90-2b)
a/cosb=a/(√3 cos2b); b-бэтта
√3acos2b=acosb    :a
√3cos2b=cosb
√3(2cos^2 b-1)-cosb=0
2√3cos^2 b-cosb-√3=0
cosb=x; 2√3x^2-x-√3=0
             D=1+8*(√3)^2=1+24=25=5^2;x=(1+-5)/(4√3)
              x=6/4 )/√3=(3√3)/(2*√3*√3)=√3/2
              x=-4/(4√3)=-1/√3-посторонний, угол острый и cosb>0
cosb=√3/2; b=30grad
тогда ∠А=2*30=60град; ∠В=90-60=30град
Катет АС против угла в 30 градусов, АС=1/2АВ; АС=а/2
BC^2=a^2-(a/2)^2(по теореме Пифагора из тр. АВС)
ВС=√(a^2-a^2/4)=a√3/2
Ответ а/2; а√3/2

Comments

Спасибо большое! Только на данный момент формулы тригонометрии неизвестны ученице!