Если каждый из 5 человек дежурит только один раз, то в первый день это может быть 1 из 5, во второй - 1 из оставшихся 4, в третий - 1 из оставшихся 3, в четвёртый - 1 из осташихся 2, наконец, в пятый день -1.
5*4*3*2*1=120 (сп.)
Ответ: 120 способами.